Родился в Москве. Спустя некоторое время переехал в Ригу, где провел свое детство. С 1999 по 2002 годы был актёром Рижского театра для детей и молодежи «Реверанс».

Окончив школу перебрался из Латвии в Москву. Здесь он поступил на актёрский факультет ВГИК, который окончил в 2007 году. В том же году дебютировал в драме Карена Шахназарова «Исчезнувшая империя». После выхода фильма Александр был удостоен премии «За лучший дебют» на фестивале «Созвездие». В 2009 году Александр Ляпин сыграл главную роль в военной мелодраме режиссера Алексея Козлова «Лейтенант Суворов». С 2010 по 2011 годы снялся сразу в пяти фильмах.

Наибольшую известность актёр получил за роль интерна Мальцева из Торжка в сериале Интерны.