Родился в посёлке Ревякино Тульской области, волейболом начинал заниматься с 8 лет в Туле в одно время и в одной спортшколе с Татьяной Кошелевой, также подавал надежды в дзюдо, увлекался лёгкой атлетикой и футболом. В 14-летнем возрасте перебрался в Калугу, тренировался в местной СДЮСШОР № 1 под руководством Леонида Петровича Митрофанова. Следующим этапом карьеры стал переезд в Одинцово, с 2005 года Алексей играл за выступавшую в первой лиге «Искру»-2. В 2006 году в составе молодёжной сборной России завоевал золотую медаль на чемпионате Европы в Казани.

В марте 2008 года провёл первые матчи за «Искру» в Суперлиге. За подмосковную команду выступал до 2012 года, после чего провёл один сезон в уфимском «Урале», а летом 2013 года подписал двухлетний контракт с «Факелом» из Нового Уренгоя. Алексей Спиридонов имеет репутацию одного из самых экспрессивных, азартных, боевитых волейболистов России, выделяется очень эмоциональной и иногда провокационной реакцией на собственные действия и другие происходящие на площадке события.

27 мая 2011 года в Уфе Алексей Спиридонов дебютировал в сборной России, обыгравшей в матче Мировой лиги японцев. За три партии он набрал 16 очков, став самым результативным игроком встречи. Спиридонов вошёл в заявку сборной и на финальный раунд Мировой лиги в Польше, где сыграл в двух матчах.

В 2013 году вследствие яркой игры Спиридонова за «Урал» (по итогам сезона Алексей стал вторым по результативности в команде, занявшей второе место в чемпионате страны) новый главный тренер сборной России Андрей Воронков включил игрока в заявку национальной команды.

В составе сборной России летом 2013 года Алексей Спиридонов стал победителем турнира Мировой лиги. В полуфинальной игре он был удалён до конца сета за слишком эмоциональную словесную перепалку с игроком сборной Италии Драганом Травицей. Тренер сборной Бразилии Бернардиньо, чья команда дважды проиграла россиянам в рамках «Финала шести», отметился резкими высказываниями в адрес Спиридонова, а бразильские журналисты и болельщики сравнили российского доигровщика с популярным героем комиксов Тинтином. В том же сезоне Спиридонов выиграл чемпионат Европы и серебряную медаль Всемирного Кубка чемпионов.

В 2014 году выступал на чемпионате мира в Польше. После матча с хозяевами турнира, результат которого лишил сборную России возможности побороться за медали, Спиридонов, по словам депутата Сейма Марека Матушевского, в ответ на провокации местных болельщиков два раза плюнул в их сторону, попав и в самого политика. Пятью днями ранее в матче Германия — Россия Алексей, празднуя успешное завершение одного из розыгрышей, повернулся к зрителям и «расстрелял» их из воображаемого автомата. Данные эпизоды стали предметом разбирательства в дисциплинарном комитете Международной федерации волейбола, который в середине декабря вынес решение о дисквалификации Спиридонова на два матча сборной России за поведение во время игры со сборной Германии.Алексей пропустил стартовые поединки Мировой лиги-2015 Польша — Россия, но затем вернулся в состав национальной команды.

В обоих сезонах, проведённых в составе «Зенита», Алексей Спиридонов становился чемпионом России, обладателем Кубка страны и победителем Лиги чемпионов, но с осени 2015 года при наличии в команде таких звёздных доигровщиков как Мэттью Андерсон и Вильфредо Леон стал получать всё меньше игровой практики. В апреле 2016 года в стремлении больше играть объявил о переходе в красноярский «Енисей»: «Если соловья посадить в клетку, то он не поёт. Я иду в „Енисей“, чтобы петь», — пояснил Спиридонов.