Родилась 30 марта 2001 года в Саратове. Мать — Юлия Валерьевна Потапова — КМС по волейболу. В настоящее время работает в инвестиционной компании. Бабушка — Ольга Борисовна Павлинова — тренер по баскетболу, играла за сборную Физкультурного института в Саратове. Анастасия занимается теннисом с пяти лет. До семи лет её тренером была Оксана Владимировна Кузьмина. В возрасте 9 лет впервые приняла участие в турнире в Волгограде и заняла первое место. Эта победа стала знаковой для Анастасии, поскольку благодаря этому достижению она поняла, что хочет заниматься теннисом на профессиональном уровне. Уже в 2013 году Анастасия выиграла турнир категории Tennis Europe 3 O1 Properties Khimki Junior Open , благодаря чему её заметил известный бизнесмен Александр Островский. Он предложил семье и тренеру Анастасии (на тот момент Анастасия уже занималась с Ириной Дорониной) переехать поближе к Москве и начать тренироваться в Академии в Химках на полном обеспечении. Потапова приняла предложение и с 2013 года начала тренироваться в Академии Александра Островского в Химках. В Академии её личным тренером осталась Ирина Николаевна Доронина, а тренером по ОФП стал — Олег Иванович Вовк.

В начале января 2015 года Анастасия Потапова стала абсолютной победительницей турнира 1 категории Tennis Europe O1 Properties Christmas Cup. В одиночном разряде Анастасия обыграла соперницу из США Наташу Шубаш со счетом 6-2, 6-1. В парном разряде, вместе со своей соотечественницей Новиковой Марией, они нанесли поражение также дуэту из США Кейси Харви/Наташа Шубаш со счетом 6-4, 6-1

В феврале 2018 года на турнире в Санкт-Петербурге, Анастасия Потапова дебютировала на турнирах под эгидой WTA. Теннисистка была приглашена организаторами соревнований в основную сетку. В первом круге ей противостояла немецкая спортсменка Татьяна Мария, которую в двух сетах юная россиянка переиграла. Во втором раунде по-своему боролась, но не смогла что-либо противопоставить первой ракетки мира Каролин Возняцки.

9 июля 2016 года Анастасия Потапова стала победителем на Уимблдонском теннисном турнире среди юниоров, одолев свою соперницу — украинку Даяну Ястремскую — в финале со счётом 6-4, 6-3.

Незадолго до победы на Уимблдоне, 1 июля 2016 года Анастасия одержала победу в другом серьезном турнире 1-ой категории ITF — Nike Junior International Roehampton, обыграв таких высокорейтинговых игроков, как Клер Лю, Джейми Фурлис, София Кенин, Ольга Данилович, Олеся Первушина. В мае 2016 года Анастасия Потапова вышла в полуфинал миланского турнира Trofeo Bonfiglio Grade A, а в декабре 2015 года — в полуфинал американского турнира Orange Bowl Championships Grade A.

Потапова стала третьей в истории спортсменской из России, выигравшей юниорский Уимблдон.